Cálculo Ejemplos

$f (x) = | x^{2} - 4 |$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + 0)$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x)$

Paso 2.4.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |} x$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |}$ y $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Paso 3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Paso 3.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$