Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + 0)$

Paso 3.6.2

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{2}{x^{3}}$

Paso 4.2.2

Combina $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}} \cdot 2}{x^{3}}$

Paso 4.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$