Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} + 5 x^{3}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{6}{x^{3}} + 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{3}}]$ .

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 2.8

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$- 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 18 x^{- 4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 18 x^{- 4} + 5 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$- 18 x^{- 4} + 15 x^{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 18$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 18}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{18}{x^{4}} + 15 x^{2}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$15 x^{2} - \frac{18}{x^{4}}$