Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8}{\sqrt{4 - x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 8

Combina ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Mueve ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ y $- 8$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Paso 11

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Paso 14

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 15

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 16

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 17

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 18

Multiplica.

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Paso 18.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 18.2

Multiplica $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Paso 20

Simplifica la expresión.

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Paso 20.1

Multiplica $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 20.2

Reordena los términos.

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$