Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ .

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Paso 1.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

Paso 1.1.2

Multiplica $x \frac{2 x}{1 + x}$ .

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Paso 1.1.2.1

Combina $x$ y $\frac{2 x}{1 + x}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

Paso 1.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

Paso 1.1.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

Paso 1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

Paso 1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica $x^{2} (1 + x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.2.1.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Paso 3.2.1.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Paso 3.2.2

Simplifica $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ .

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Paso 3.2.2.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $2 x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

Paso 3.2.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.2.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

Paso 3.2.2.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.2.2.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

Paso 3.2.2.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

Paso 3.2.2.2.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Paso 3.2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

Paso 3.2.3.2

Suma $2 x^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Paso 3.2.3.3

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Paso 3.2.3.4

Suma $x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Paso 3.2.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Paso 3.2.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

Paso 3.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Paso 3.2.6

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.6.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.2.6.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.2.7

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.7.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 3.2.7.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 3.2.7.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.7.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (3 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{3}$