Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 6

Multiplica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 8

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11

Combina $2$ y $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 \cos (x)) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.3.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.1.2

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 12.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.2

Factoriza $2$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.3

Factoriza $2$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.4

Factoriza $2$ de $2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.5

Reorganiza los términos.

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.4

Reordena los términos.

$\frac{2 + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.5

Factoriza $2$ de $2 + 6 \cos (x)$ .

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Paso 12.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1) + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.5.2

Factoriza $2$ de $6 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 12.5.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (3 \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$