Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 4$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 3.6.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.1.2

Reescribe $8$ como $- 1$ más $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Reescribe $- (3 x + 1)$ como $- 1 (3 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$