Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$

Paso 1

Como $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 9

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10.2

Multiplica $1 - \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x)) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.1.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.1.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 11.3.1.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.1.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1})}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.2

Mueve $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.3

Factoriza $- 5$ de $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.4

Factoriza $- 5$ de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.5

Factoriza $- 5$ de $- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.6

Reorganiza los términos.

$\frac{- 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.7

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 5 \cdot 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.3.8

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{- 5 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.4

Factoriza $5$ de $- 5 + 5 \sin (x)$ .

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Paso 11.4.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.4.2

Factoriza $5$ de $5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)$ .

$\frac{5 (- 1 + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (- 1 (1) + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.6

Factoriza $- 1$ de $\sin (x)$ .

$\frac{5 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{5 (- 1 (1 - \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Paso 11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$