Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $40$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $32$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Multiplica $8$ por $16$ .

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $40$ por $- 4$ .

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $160$ de $128$ .

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $- 32$ y $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Paso 1.1.3.3

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} + 40 x + 32$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 x$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $40$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.5

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6

Suma $16 x + 40$ y $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 1.3.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

Paso 1.4

Divide $16 x + 40$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

Paso 2.2

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $40$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$16 \cdot - 4 + 40$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $16$ por $- 4$ .

$- 64 + 40$

Paso 4.2

Suma $- 64$ y $40$ .

$- 24$