Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$4 x + 7 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Paso 4.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Paso 4.7

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 x + 7 - (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Paso 4.8

Combina $\frac{2}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$4 x + 7 - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 5

Combina los términos.

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Paso 5.1

Para escribir $4 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Paso 5.3

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x + 7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$