Cálculo Ejemplos

$z = (4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1})$

Paso 2

La derivada de $z$ con respecto a $t$ es $z'$ .

$z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = 4 - t$ y $g (t) = {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) \frac{d}{d t} [{(9 + t^{2})}^{- 1}] + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = 9 + t^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(4 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.3.2

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Paso 3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 3.3.7

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 3.3.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 3.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Paso 3.3.11.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 3.3.11.3

Reescribe $- 1 {(9 + t^{2})}^{- 1}$ como $- {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (\frac{- 2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(4 - t) (- \frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Combina $t$ y $\frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$(4 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.5

Para escribir $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.6

Combina $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ y $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2})}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2}) - 1}{9 + t^{2}}$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.5.1

Factoriza $- 1$ de $- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

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Paso 3.4.5.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 3.4.5.1.1.1

Reordena $4$ y $- t$ .

$\frac{- (- t + 4) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.1.1.2

Reordena $9$ y $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.1.1.3

Reordena $9$ y $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.1.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.2

Cancela el factor común de $t^{2} + 9$ .

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Paso 3.4.5.2.1

Factoriza $t^{2} + 9$ de $(- t + 4) (t^{2} + 9)$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.2.2

Factoriza $t^{2} + 9$ de ${(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- ((- t + 4) \frac{2 t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.3

Multiplica $- t + 4$ por $\frac{2 t}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 4) (2 t)}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $- t + 4$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9})}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \frac{2 (- t + 4) t + t^{2} + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.7

Reordena los términos.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8

Reescribe $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}$ en forma factorizada.

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Paso 3.4.5.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.5.8.4.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.8.4.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.4.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.5

Resta $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.4.5.8.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 3.4.5.8.6.1.1

Factoriza $8$ de $8 t$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 (t) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.6.1.2

Reescribe $8$ como $- 1$ más $9$

$\frac{- \frac{- t^{2} + (- 1 + 9) t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \frac{- t^{2} - 1 t + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.4.5.8.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{- \frac{(- t^{2} - 1 t) + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{- \frac{t (- t - 1) - 9 (- t - 1)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.5.8.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- t - 1$ .

$\frac{- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$

Paso 3.4.7

Multiplica $- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$ .

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{t^{2} + 9}$ por $\frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $t^{2} + 9$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} (t^{2} + 9)}$

Paso 3.4.7.3

Eleva $t^{2} + 9$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} {(t^{2} + 9)}^{1}}$

Paso 3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3.4.8

Factoriza $- 1$ de $- t$ .

$- \frac{(- (t) - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3.4.9

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{(- (t) - 1 (1)) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3.4.10

Factoriza $- 1$ de $- (t) - 1 (1)$ .

$- \frac{- (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3.4.11

Reescribe $- (t + 1)$ como $- 1 (t + 1)$ .

$- \frac{- 1 (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3.4.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3.4.14

Multiplica $\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z' = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$