Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1 - 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.1.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{5 x} - 1 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 3.5.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.6

Suma $5 e^{5 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{2 x}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.1.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.1.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.3.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.3.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 e^{5 x} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

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Paso 5.3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.5

Suma $25 e^{5 x}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{1}$

Paso 5.4

Divide $25 e^{5 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 25 e^{5 x}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $25$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 lim_{x \to 0} e^{5 x}$

Paso 6.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{lim_{x \to 0} 5 x}$

Paso 6.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 lim_{x \to 0} x}$

Paso 7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $25$ .

$\frac{25}{2} e^{5 \cdot 0}$

Paso 8.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{25}{2} e^{0}$

Paso 8.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1$

Paso 8.4

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $1$ .

$\frac{25}{2}$