Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.2.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Paso 3.2.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Paso 3.7

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Paso 3.8.2

Reescribe la expresión.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Paso 3.9

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$