Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$8 x + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$8 x + 12 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.10.2

Resta $2$ de $3$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.11

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.12

Combina $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.1

Mueve $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13.3

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13.4

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.13.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13.6.2

Suma $- 6$ y $1$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.13.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.14

Mueve $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.15

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$8 x - 12 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.16

Combina $- 12$ y $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$8 x + \frac{- 12 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.17

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$8 x + \frac{- 36}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.18

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.19.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.19.2

Cancela el factor común.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.19.3

Reescribe la expresión.

$8 x + \frac{- 18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + 0$

Paso 4.2

Suma $8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$ y $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$