Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 \sqrt{7 x^{2} + 5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 x^{2} + 5}$ como ${(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x^{2} + 5$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{2} + 5$ .

$6 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{1}{2} {(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 9

Mueve ${(7 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\frac{1}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5])$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $6$ .

$\frac{6}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Paso 11

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5]$

Paso 13

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 14

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 16

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (14 x + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 17

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (14 x + 0)$

Paso 18

Combina fracciones.

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Paso 18.1

Suma $14 x$ y $0$ .

$\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (14 x)$

Paso 18.2

Combina $14$ y $\frac{3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 18.3

Multiplica $14$ por $3$ .

$\frac{42}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 18.4

Combina $\frac{42}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{42 x}{{(7 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$