Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 \sin^{6} (\sqrt{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$8 (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$8 (6 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Paso 3

Multiplica $6$ por $8$ .

$48 (\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 9.2

Resta $2$ de $1$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $48$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48}{2} \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 13

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48}{2}$ y $\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 14

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ y $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Mueve $48$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{48 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 15.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Factoriza $2$ de $48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 17.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.3

Reescribe la expresión.

$\frac{24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$