Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2} \cos (3 x)$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} \cos (3 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (3 x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$- 15 (x^{2} (\sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 \cos (3 x) x$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 x \cos (3 x)$