Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Paso 1

Escribe $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Paso 2.1.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Paso 2.1.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Paso 2.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Paso 2.1.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

Paso 2.1.1.2.6

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + 0)$

Paso 2.1.1.2.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$

Paso 2.1.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.1.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

Paso 2.1.1.3.2

Multiplica $2 x - 4$ por $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Paso 2.1.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 2.1.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Paso 2.1.1.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 20}$

Paso 2.1.1.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.4.2

Multiplica $x^{2} - 4 x + 20$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.10

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.11

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.3.11.1

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.11.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.4.3.1.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.2

Multiplica $2$ por $20$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.4

Expande $(- x + 2) (2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.4.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.4.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5.1.6

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.5.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.7

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.3.1.7.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.7.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.1.7.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.2

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 40 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.3

Suma $- 8 x$ y $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 40 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3.4

Resta $16$ de $40$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 8 x + 24$ .

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Paso 2.1.2.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.4.4.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.1.2.4.4.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.2.1.2

Reescribe $4$ como $- 2$ más $6$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.4.4.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x - 2) - 6 (- x - 2))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.4.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$\frac{2 ((- x - 2) (x - 6))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.8

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.10

Reordena los factores en $- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x + 2) (x - 6) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 2.2.3.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.2.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.2.3.3

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.3.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 2.2.3.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 2.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 2) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 6$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 4 x + 20 > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Paso 3.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 20$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4

Simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Paso 3.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.3

Resta $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.4

Reescribe $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (64)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Paso 3.2.4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Paso 3.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.3

Resta $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.4

Reescribe $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (64)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Paso 3.2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + 4 i$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.2.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Paso 3.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.3

Resta $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.4

Reescribe $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (64)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Paso 3.2.6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Paso 3.2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - 4 i$

Paso 3.2.7

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 3.2.7.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{2}$

Paso 3.2.7.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 3.2.8

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $x^{2} - 4 x + 20$ siempre es mayor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 3.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 2) ((- 4) - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Suma $- 4$ y $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 2 (- 4 - 6))}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 (- 4 - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $6$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 + 16 + 20)}^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $16$ y $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(32 + 20)}^{2}}$

Paso 5.2.2.4

Suma $32$ y $20$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{52^{2}}$

Paso 5.2.2.5

Eleva $52$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{2704}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $- 4$ por $- 10$ .

$f'' (- 4) = - \frac{40}{2704}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $40$ y $2704$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $40$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $2704$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 4) = - \frac{5}{338}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 2, 6)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 2) ((0) - 6)}{{({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Suma $0$ y $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (2 (0 - 6))}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 6)}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 0 + 20)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 20)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Suma $0$ y $20$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{20^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{400}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$f'' (0) = - \frac{- 24}{400}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $- 24$ y $400$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $- 24$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (- 3)}{400}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $400$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{- 3}{50}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{3}{50}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{3}{50}$ .

$\frac{3}{50}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 2, 6)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 2, 6)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f'' (8) = - \frac{2 ((8) + 2) ((8) - 6)}{{({(8)}^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Suma $8$ y $2$ .

$f'' (8) = - \frac{2 \cdot (10 (8 - 6))}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$f'' (8) = - \frac{20 (8 - 6)}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $6$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 32 + 20)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Resta $32$ de $64$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(32 + 20)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Suma $32$ y $20$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{52^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $52$ a la potencia de $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{2704}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $20$ por $2$ .

$f'' (8) = - \frac{40}{2704}$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $40$ y $2704$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $40$ .

$f'' (8) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $2704$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Paso 7.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Paso 7.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (8) = - \frac{5}{338}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Paso 7.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(6, \infty)$ porque $f'' (8)$ es negativa.

Cóncavo en $(6, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 2, 6)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(6, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 9