Cálculo Ejemplos

$x e^{x}$

Paso 1

Escribe $x e^{x}$ como una función.

$f (x) = x e^{x}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Paso 2.1.1.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.1.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.1.2.2.4

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.1.2.4.2

Reordena los términos.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 2.1.2.4.3

Reordena los factores en $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Paso 2.2.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Paso 5.2.1.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Paso 5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Paso 5.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

Paso 5.2.1.5

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

Paso 5.2.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.2.1

Suma $- 4$ y $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

Paso 5.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{2}{e^{4}}$ .

$- \frac{2}{e^{4}}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 2, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

Paso 6.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 2, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8