Cálculo Ejemplos

$f (x) = arccsc (2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccsc (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

La derivada de $arccsc (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{{(2 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{2^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x \sqrt{4 x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x \sqrt{4 x^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x \sqrt{4 x^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 1}}$