Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\sqrt[4]{x})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{4}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 7.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 10

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ por $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot 4}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4 \cdot x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 11.2

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 12

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1

Multiplica $x^{\frac{1}{4}}$ por $x^{\frac{3}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1

Mueve $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{4 (x^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{4}})}$

Paso 12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}}$

Paso 12.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3 + 1}{4}}}$

Paso 12.1.4

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{4}{4}}}$

Paso 12.1.5

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{4 x^{1}}$

Paso 12.2

Simplifica $4 x^{1}$ .

$\frac{1}{4 x}$