Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Paso 3.2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Paso 3.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Paso 3.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Paso 3.4.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Paso 3.5

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Paso 3.6

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Paso 3.7

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1

Expande $\ln (e^{y + 1})$ ; para ello, mueve $y + 1$ fuera del logaritmo.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Paso 3.7.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Paso 3.7.3

Multiplica $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Paso 3.8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Paso 5.2.3.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Paso 5.2.3.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Paso 5.2.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Paso 5.2.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Paso 5.2.3.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Paso 5.2.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Paso 5.2.3.2

Combina los términos opuestos en $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Paso 5.2.3.2.2

Suma $e^{x + 1}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Paso 5.2.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $x + 1$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Paso 5.2.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Paso 5.3.3.2

Suma $\ln (2 x + 4)$ y $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Paso 5.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Paso 5.3.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Paso 5.3.4.3.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Paso 5.3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Paso 5.3.4.4.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Paso 5.3.4.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.3.5.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$