Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cot (- x) + \sec (π x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cot (- x) + \sec (π x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cot (- x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cot (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$- \csc^{2} (- x) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \csc^{2} (- x) (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \csc^{2} (- x) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 2.6

Multiplica $\csc^{2} (- x)$ por $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 3.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \cdot 1)$

Paso 3.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) π$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (- x)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Como $\csc (- x)$ es una función impar, reescribe $\csc (- x)$ como $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- \csc (x))}^{2}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- 1)}^{2} \csc^{2} (x)$

Paso 4.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + 1 \csc^{2} (x)$

Paso 4.2.4

Multiplica $\csc^{2} (x)$ por $1$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (x)$