Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x}{x^{5} - 12}$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{5} - 12$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.3

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.4

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{x}{x^{5} - 12}$ por $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $x$ de $(x^{5} - 12) x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Paso 12.3.2

Resta $x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Paso 12.4

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.4.1

Multiplica $x^{5}$ por $x$ .

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Paso 12.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

Paso 12.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

Paso 12.4.2

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

Paso 12.5

Factoriza $4$ de $4 x^{5} + 12$ .

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Paso 12.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

Paso 12.5.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

Paso 12.5.3

Factoriza $4$ de $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

Paso 12.6

Factoriza $x$ de $x^{6} - 12 x$ .

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Paso 12.6.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

Paso 12.6.2

Factoriza $x$ de $- 12 x$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

Paso 12.6.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$