Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} \ln (8 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \ln (8 x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$x^{5} (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{8 x}$ y $x^{5}$ .

$\frac{x^{5}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{4}}{8} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $8$ y $\frac{x^{4}}{8}$ .

$\frac{8 x^{4}}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{4}}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.4.2.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.6

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (8 x) (5 x^{4})$

Paso 3.8

Reordena los términos.

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (8 x)$