Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 2.2.2

Suma $- 5 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 5 x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

Paso 3.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Paso 3.2

Mueve el término $- 5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.7

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Divide $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ por $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Paso 9.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Paso 9.3.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Paso 9.3.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Paso 9.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Paso 9.3.3

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Paso 9.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$- 2.5$