Cálculo Ejemplos

$f (x) = y^{3} - 3 y^{2} - x^{2} - 9 y + 10 x - 60$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - 3 y^{2} - x^{2} - 9 y + 10 x - 60$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} - 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 y^{2} - 6 y + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 3

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

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Paso 4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 9 y$ con respecto a $y$ es $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 4.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1

Como $10 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + 0 + \frac{d}{d y} [- 60]$

Paso 5.2

Como $- 60$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 60$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + 0 + 0$

Paso 6

Combina los términos.

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Paso 6.1

Suma $3 y^{2} - 6 y$ y $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9 + 0 + 0$

Paso 6.2

Suma $3 y^{2} - 6 y - 9$ y $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9 + 0$

Paso 6.3

Suma $3 y^{2} - 6 y - 9$ y $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9$