Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la cosecante es continua.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Paso 7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Paso 9.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Paso 9.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ por $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

Paso 9.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ por $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

Paso 9.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

Paso 9.6

Simplifica.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

Paso 9.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

Paso 9.8

Reescribe $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ como $- (\sqrt{2} - 2)$ .

$- (\sqrt{2} - 2)$

Paso 9.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2} - - 2$

Paso 9.10

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{2} + 2$

Forma decimal:

$0.58578643 \dots$