Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Combina fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2.2.4

Divide $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$