Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{3 x} - e^{x^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{3 x} - e^{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.7

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 2.8

Multiplica $e^{3 x}$ por $1$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{x^{2}} (2 x))$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - 2 e^{x^{2}} x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$3 e^{3 x} x - 2 e^{x^{2}} x + e^{3 x}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $3 e^{3 x} x - 2 e^{x^{2}} x + e^{3 x}$ .

$3 x e^{3 x} - 2 x e^{x^{2}} + e^{3 x}$