Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Paso 1

Combina fracciones.

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Paso 1.1

Combina $\sqrt{y}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y}}{3} \cdot (y - 3)]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (y - 3)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ y $g (y) = y - 3$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \frac{d}{d y} [y - 3] + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} (1 + 0) + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 1 + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ por $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3.5

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) (\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{3} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 10

Multiplica $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 3}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{6}$

Paso 11.2

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Para escribir $(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 13

Combina $(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{(y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3}$

Paso 15

Combina $3$ y $\frac{1}{6 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 16

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{6 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 17

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.1

Factoriza $3$ de $6 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 (1)}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

Paso 17.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{3 \cdot 1}{3 (2 y^{\frac{1}{2}})}}{3}$

Paso 17.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + (y - 3) \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + y \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 18.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.1.1

Combina $y$ y $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.3

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.2.1.3.1

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 18.2.1.3.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.2

Para escribir $y^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.3

Combina $y^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.5

Suma $y^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 18.2.5.1

Reordena $y^{\frac{1}{2}}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.2.5.2

Suma $2 \cdot y^{\frac{1}{2}}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

$\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.3

Combina los términos.

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Paso 18.3.1

Multiplica $\frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 18.3.2

Combinar.

$\frac{2 (\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.7

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.8

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.3.9.1

Factoriza $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (y^{\frac{1}{2}})}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.11

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

Paso 18.3.12

Factoriza $3$ de $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}}{6}$

Paso 18.3.13

Factoriza $3$ de $- \frac{3}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

Paso 18.3.14

Factoriza $3$ de $3 (y^{\frac{1}{2}}) + 3 (- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{6}$

Paso 18.3.15

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.3.15.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 (2)}$

Paso 18.3.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}})}{3 \cdot 2}$

Paso 18.3.15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.4

Simplifica el numerador.

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Paso 18.4.1

Para escribir $y^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 18.4.3.1

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.4.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.4.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.4.3.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{y^{\frac{2}{2}} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.4.3.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{y^{1} - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.4.3.2

Simplifica $y^{1}$ .

$\frac{\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 18.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 18.6

Multiplica $\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y - 1}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 18.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y - 1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$