Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{7}{2}} e^{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $7$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Paso 8

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 9

Combina $e^{x}$ y $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{7}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{\frac{7}{2}} + \frac{e^{x} (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 10.2

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$e^{x} x^{\frac{7}{2}} + \frac{7 e^{x} x^{\frac{5}{2}}}{2}$