Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 3.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4

Combina $\frac{5}{3}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$