Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{{(6 x - 5)}^{9}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(6 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{({(6 x - 5)}^{9})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 x - 5)}^{9})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.3

Multiplica ${(6 x - 5)}^{9}$ por $1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = 6 x - 5$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x - 5$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x - 5$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 {(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 4.2

Factoriza ${(6 x - 5)}^{8}$ de ${(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza ${(6 x - 5)}^{8}$ de ${(6 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 4.2.2

Factoriza ${(6 x - 5)}^{8}$ de $- 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 4.2.3

Factoriza ${(6 x - 5)}^{8}$ de ${(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza ${(6 x - 5)}^{8}$ de ${(6 x - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 7

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 9

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + 0)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 11

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 11.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x \cdot 6}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 11.2

Multiplica $6$ por $- 9$ .

$\frac{6 x - 5 - 54 x}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 11.3

Resta $54 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 48 x - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Factoriza $- 1$ de $- 48 x$ .

$\frac{- (48 x) - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 12.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- (48 x) - 1 (5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 12.3

Factoriza $- 1$ de $- (48 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 12.4

Reescribe $- (48 x + 5)$ como $- 1 (48 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{48 x + 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$