Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x - y}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - y}$ como ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

Paso 5.2

Multiplica ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - y$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 11.3

Mueve ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]}{x - y}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

Paso 14

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - y}$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - y}$

Paso 15.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 16

Para escribir ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 17

Combina ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 19

Multiplica ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1

Mueve ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 19.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 19.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 20

Simplifica ${(x - y)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(x - y) \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 21

Mueve $2$ a la izquierda de $x - y$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Paso 22

Reescribe $\frac{\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$ como un producto.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - y}$

Paso 23

Multiplica $\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - y}$ .

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}} (x - y)}$

Paso 24

Eleva $x - y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x - y) - x}{2 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 26

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 28

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 29

Simplifica.

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Paso 29.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 (- y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 29.2

Simplifica el numerador.

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Paso 29.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 y - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 29.2.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 2 y}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$