Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{t + 1}{2^{t}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t + 1$ y $g (t) = 2^{t}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{{(2^{t})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{t})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{t \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2^{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2^{t} (1 + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2^{t} (1 + 0) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2^{t} \cdot 1 - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2^{t}$ por $1$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{t} + (- t - 1 \cdot 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 \cdot 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Paso 4.3.2

Reescribe $- 1 (2^{t} \ln (2))$ como $- (2^{t} \ln (2))$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

$\frac{2^{t} - t \cdot 2^{t} \ln (2) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{- 2^{t} t \ln (2) - 2^{t} \ln (2) + 2^{t}}{2^{2 t}}$