Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (3 x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(3 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(3 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $3 (x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} (2 x)$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Combina $2$ y $\frac{3}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 9 x^{4}} x$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{1 + 9 x^{4}} x$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{6}{1 + 9 x^{4}}$ y $x$ .

$\frac{6 x}{1 + 9 x^{4}}$

Paso 2.6.4

Reordena los términos.

$\frac{6 x}{9 x^{4} + 1}$