Cálculo Ejemplos

$R (x) = 2000 {(1 - \frac{x}{600})}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(1 - \frac{x}{600})}^{2}$ como $(1 - \frac{x}{600}) (1 - \frac{x}{600})$ .

$\frac{d}{d x} [2000 ((1 - \frac{x}{600}) (1 - \frac{x}{600}))]$

Paso 2

Expande $(1 - \frac{x}{600}) (1 - \frac{x}{600})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 (1 - \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} (1 - \frac{x}{600}))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} (1 - \frac{x}{600}))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} \cdot 1 - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 1 (- \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} \cdot 1 - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Paso 3.1.2

Multiplica $- \frac{x}{600}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} \cdot 1 - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Paso 3.1.4

Multiplica $- \frac{x}{600} (- \frac{x}{600})$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + 1 \frac{x}{600} \frac{x}{600})]$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $\frac{x}{600}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x}{600} \cdot \frac{x}{600})]$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $\frac{x}{600}$ por $\frac{x}{600}$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x \cdot x}{600 \cdot 600})]$

Paso 3.1.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{1} x}{600 \cdot 600})]$

Paso 3.1.4.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{1} x^{1}}{600 \cdot 600})]$

Paso 3.1.4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{1 + 1}}{600 \cdot 600})]$

Paso 3.1.4.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{600 \cdot 600})]$

Paso 3.1.4.8

Multiplica $600$ por $600$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Paso 3.2

Resta $\frac{x}{600}$ de $- \frac{x}{600}$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - 2 \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Paso 4.1.2

Factoriza $2$ de $600$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - 1 \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 \frac{x}{300}$ como $- \frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Paso 5

Como $2000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2000 (1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000})$ con respecto a $x$ es $2000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000}]$ .

$2000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000}]$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}]$ .

$2000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Paso 7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Paso 8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}]$ .

$2000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Paso 9

Como $- \frac{1}{300}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{300}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{300} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 (- \frac{1}{300} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2000 (- \frac{1}{300} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Paso 11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Paso 12

Como $\frac{1}{360000}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{360000}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{360000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{1}{360000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{1}{360000} (2 x))$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Combina $2$ y $\frac{1}{360000}$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2}{360000} x)$

Paso 14.2

Combina $\frac{2}{360000}$ y $x$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 x}{360000})$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $2$ y $360000$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 (x)}{360000})$

Paso 14.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.2.1

Factoriza $2$ de $360000$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 x}{2 \cdot 180000})$

Paso 14.3.2.2

Cancela el factor común.

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 x}{2 \cdot 180000})$

Paso 14.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{x}{180000})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2000 (- \frac{1}{300}) + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2

Combina los términos.

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Paso 15.2.1

Multiplica $- 1$ por $2000$ .

$- 2000 (\frac{1}{300}) + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2.2

Combina $- 2000$ y $\frac{1}{300}$ .

$\frac{- 2000}{300} + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2.3

Cancela el factor común de $- 2000$ y $300$ .

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Paso 15.2.3.1

Factoriza $100$ de $- 2000$ .

$\frac{100 (- 20)}{300} + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.3.2.1

Factoriza $100$ de $300$ .

$\frac{100 \cdot - 20}{100 \cdot 3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{100 \cdot - 20}{100 \cdot 3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 20}{3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20}{3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Paso 15.2.5

Combina $2000$ y $\frac{x}{180000}$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 x}{180000}$

Paso 15.2.6

Cancela el factor común de $2000$ y $180000$ .

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Paso 15.2.6.1

Factoriza $2000$ de $2000 x$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 (x)}{180000}$

Paso 15.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.6.2.1

Factoriza $2000$ de $180000$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 x}{2000 \cdot 90}$

Paso 15.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 x}{2000 \cdot 90}$

Paso 15.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{20}{3} + \frac{x}{90}$

Paso 15.3

Reordena los términos.

$\frac{x}{90} - \frac{20}{3}$