Cálculo Ejemplos

$h (y) = {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ es $f' (g (b)) g' (b)$ donde $f (b) = b^{3}$ y $g (b) = \frac{b}{a + y^{4}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{a + y^{4}}$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $\frac{b}{a + y^{4}}$ con respecto a $b$ es $\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b]$ .

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} (\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b])$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{a + y^{4}}$ y $3$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [b]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ es $n b^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{3}{a + y^{4}}$ por $1$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} \cdot \frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{3}{a + y^{4}}$ por $\frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$ .

$\frac{3 b^{2}}{(a + y^{4}) {(a + y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $a + y^{4}$ por ${(a + y^{4})}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $a + y^{4}$ por ${(a + y^{4})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Eleva $a + y^{4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1} {(a + y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1 + 2}}$

Paso 3.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{3}}$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$\frac{3 b^{2}}{{(y^{4} + a)}^{3}}$