Cálculo Ejemplos

$q (r) = \frac{3 r}{5 r + 2}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{3 r}{5 r + 2}$ con respecto a $r$ es $3 \frac{d}{d r} [\frac{r}{5 r + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d r} [\frac{r}{5 r + 2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ es $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ donde $f (r) = r$ y $g (r) = 5 r + 2$ .

$3 \frac{(5 r + 2) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{(5 r + 2) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $5 r + 2$ por $1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 r + 2$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $5$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $5 r$ con respecto a $r$ es $5 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $2$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $2$ con respecto a $r$ es $0$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 + 0)}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica los términos.

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Paso 3.8.1

Suma $5$ y $0$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r \cdot 5}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - 5 r}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Resta $5 r$ de $5 r$ .

$3 \frac{0 + 2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.8.4

Suma $0$ y $2$ .

$3 \frac{2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.8.5

Combina $3$ y $\frac{2}{{(5 r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Paso 3.8.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{{(5 r + 2)}^{2}}$