Cálculo Ejemplos

$g (y) = \frac{y - 2}{y^{2} - 2 y + 4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y - 2$ y $g (y) = y^{2} - 2 y + 4$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) \frac{d}{d y} [y - 2] - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (1 + 0) - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) \cdot 1 - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $y^{2} - 2 y + 4$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 2 y + 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.10

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 2.11

Suma $2 y - 2$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 + (- y - - 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 + (- y + 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Expande $(- y + 2) (2 y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - y (2 y - 2) + 2 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 2 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 2 y + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 2 y + 4 y + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 2 y + 4 y - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.2

Suma $2 y$ y $4 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 6 y - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 6 y - 4$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 6 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Suma $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 6 y$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 6 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $- 2 y$ y $6 y$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $y$ de $- y^{2} + 4 y$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 4 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $y (- y) + y \cdot 4$ .

$\frac{y (- y + 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.5

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 4))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 4)$ .

$\frac{y (- (y - 4))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.7

Reescribe $- (y - 4)$ como $- 1 (y - 4)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 4))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y (y - 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$