Cálculo Ejemplos

$g (y) = \frac{{(y - 1)}^{3}}{{(y^{2} + 2 y)}^{9}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = {(y - 1)}^{3}$ y $g (y) = {(y^{2} + 2 y)}^{9}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{3}] - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{({(y^{2} + 2 y)}^{9})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} + 2 y)}^{9})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{3}] - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{9 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{3}] - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = y - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{9} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{9} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{9} (3 {(y - 1)}^{2} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(y^{2} + 2 y)}^{9}$ .

$\frac{3 \cdot {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} \frac{d}{d y} [y - 1] - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} (1 + 0) - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} \cdot 1 - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{9}$ y $g (y) = y^{2} + 2 y$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{9}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{3} (9 {u_{2}}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{3} (9 {(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (2 y + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 6.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (2 y + 2 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (2 y + 2 \cdot 1))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2}$ de $3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (2 y + 2))$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2}$ de $3 {(y^{2} + 2 y)}^{9} {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y) - 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2}$ de $- 9 {(y - 1)}^{3} ({(y^{2} + 2 y)}^{8} (2 y + 2))$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y) + 3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 3 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2}$ de $3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y) + 3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 3 (y - 1) (2 y + 2))$ .

$\frac{3 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.2

Factoriza $y$ de $y^{2} + 2 y$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{3 {(y \cdot y + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{3 {(y \cdot y + y \cdot 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{3 {(y (y + 2))}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.3

Aplica la regla del producto a $y (y + 2)$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y + (- 3 y - 3 \cdot - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y + (- 3 y + 3) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.3

Expande $(- 3 y + 3) (2 y + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 y (2 y + 2) + 3 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 y (2 y) - 3 y \cdot 2 + 3 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 y (2 y) - 3 y \cdot 2 + 3 (2 y) + 3 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.4.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 \cdot 2 y \cdot y - 3 y \cdot 2 + 3 (2 y) + 3 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.4.4.1.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 \cdot 2 (y \cdot y) - 3 y \cdot 2 + 3 (2 y) + 3 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 3 \cdot 2 y^{2} - 3 y \cdot 2 + 3 (2 y) + 3 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 6 y^{2} - 3 y \cdot 2 + 3 (2 y) + 3 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 6 y^{2} - 6 y + 3 (2 y) + 3 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 6 y^{2} - 6 y + 6 y + 3 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.1.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 6 y^{2} - 6 y + 6 y + 6)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.2

Suma $- 6 y$ y $6 y$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 6 y^{2} + 0 + 6)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.4.4.3

Suma $- 6 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (y^{2} + 2 y - 6 y^{2} + 6)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.1.5

Resta $6 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)}{{(y^{2} + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2} + 2 y$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)}{{(y \cdot y + 2 y)}^{18}}$

Paso 7.2.1.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)}{{(y \cdot y + y \cdot 2)}^{18}}$

Paso 7.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)}{{(y (y + 2))}^{18}}$

Paso 7.2.2

Aplica la regla del producto a $y (y + 2)$ .

$\frac{3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)}{y^{18} {(y + 2)}^{18}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $y^{8}$ y $y^{18}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $y^{8}$ de $3 y^{8} {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)$ .

$\frac{y^{8} (3 {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6))}{y^{18} {(y + 2)}^{18}}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $y^{8}$ de $y^{18} {(y + 2)}^{18}$ .

$\frac{y^{8} (3 {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6))}{y^{8} (y^{10} {(y + 2)}^{18})}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{8} (3 {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6))}{y^{8} (y^{10} {(y + 2)}^{18})}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{18}}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de ${(y + 2)}^{8}$ y ${(y + 2)}^{18}$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza ${(y + 2)}^{8}$ de $3 {(y + 2)}^{8} {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)$ .

$\frac{{(y + 2)}^{8} (3 {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6))}{y^{10} {(y + 2)}^{18}}$

Paso 7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.2.1

Factoriza ${(y + 2)}^{8}$ de $y^{10} {(y + 2)}^{18}$ .

$\frac{{(y + 2)}^{8} (3 {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6))}{{(y + 2)}^{8} (y^{10} {(y + 2)}^{10})}$

Paso 7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(y + 2)}^{8} (3 {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6))}{{(y + 2)}^{8} (y^{10} {(y + 2)}^{10})}$

Paso 7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(y - 1)}^{2} (- 5 y^{2} + 2 y + 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 y^{2}$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{2} (- (5 y^{2}) + 2 y + 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $2 y$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{2} (- (5 y^{2}) - (- 2 y) + 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- (5 y^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{2} (- (5 y^{2} - 2 y) + 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.8

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{2} (- (5 y^{2} - 2 y) - 1 (- 6))}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.9

Factoriza $- 1$ de $- (5 y^{2} - 2 y) - 1 (- 6)$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{2} (- (5 y^{2} - 2 y - 6))}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.10

Reescribe $- (5 y^{2} - 2 y - 6)$ como $- 1 (5 y^{2} - 2 y - 6)$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{2} (- 1 (5 y^{2} - 2 y - 6))}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(3 {(y - 1)}^{2}) (5 y^{2} - 2 y - 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$

Paso 7.12

Reordena los factores en $- \frac{(3 {(y - 1)}^{2}) (5 y^{2} - 2 y - 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$ .

$- \frac{3 {(y - 1)}^{2} (5 y^{2} - 2 y - 6)}{y^{10} {(y + 2)}^{10}}$