Cálculo Ejemplos

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ .

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

Paso 5.2

Multiplica $e^{x} + \frac{1}{x}$ por $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Paso 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Paso 5.3.2

Combinar.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Paso 5.6

Factoriza $x$ de $x e^{x} + x \ln (x)$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $x$ de $x e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

Paso 5.6.2

Factoriza $x$ de $x \ln (x)$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

Paso 5.6.3

Factoriza $x$ de $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$