Cálculo Ejemplos

$h (t) = 6 \cos (\frac{π}{6} t) + 8$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \cos (\frac{π}{6} t) + 8$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π}{6} t)] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π}{6} t)] + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

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Paso 2.1

Combina $\frac{π}{6}$ y $t$ .

$\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π t}{6})] + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 \cos (\frac{π t}{6})$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})] + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = \frac{π t}{6}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π t}{6}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}]) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$6 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}]) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π t}{6}$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}]) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.4

Como $\frac{π}{6}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π t}{6}$ con respecto a $t$ es $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6}) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.7

Combina $\frac{π}{6}$ y $\sin (\frac{π t}{6})$ .

$6 (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6} + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.9

Combina $- 6$ y $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ .

$\frac{- 6 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{6} + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.10

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza $6$ de $- 6 π \sin (\frac{π t}{6})$ .

$\frac{6 (- π \sin (\frac{π t}{6}))}{6} + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.10.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (- π \sin (\frac{π t}{6}))}{6 (1)} + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (- π \sin (\frac{π t}{6}))}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- π \sin (\frac{π t}{6})}{1} + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 2.10.2.4

Divide $- π \sin (\frac{π t}{6})$ por $1$ .

$- π \sin (\frac{π t}{6}) + \frac{d}{d t} [8]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- π \sin (\frac{π t}{6}) + 0$

Paso 3.2

Suma $- π \sin (\frac{π t}{6})$ y $0$ .

$- π \sin (\frac{π t}{6})$