Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = e^{2 t}$ y $g (t) = 1 + e^{2 t}$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) \frac{d}{d t} [e^{2 t}] - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \cdot 1) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $(1 + e^{2 t}) e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{2 t}) e^{2 t}) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{2 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 3.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} \frac{d}{d t} [e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t + 2 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 6

Suma $2 t$ y $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 7

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} (2 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \cdot 1}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 10

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11.3.1.2

Multiplica $e^{2 t}$ por $e^{2 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.1.2.1

Mueve $e^{2 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 (e^{2 t} e^{2 t}) - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t + 2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11.3.1.2.3

Suma $2 t$ y $2 t$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11.3.2

Combina los términos opuestos en $2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}$ .

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Paso 11.3.2.1

Resta $2 e^{4 t}$ de $2 e^{4 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 0}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Paso 11.3.2.2

Suma $2 e^{2 t}$ y $0$ .

$\frac{2 e^{2 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$