Cálculo Ejemplos

$g (t) = {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{9}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{9}$ y $g (t) = \frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t - 2$ y $g (t) = 2 t + 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t - 2] - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + 0) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \cdot 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2 t + 1$ por $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Combina fracciones.

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Paso 3.10.1

Suma $2$ y $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Paso 3.10.3

Combina $\frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$ y $9$ .

$\frac{(2 t + 1 - 2 (t - 2)) \cdot 9}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Paso 3.10.4

Mueve $9$ a la izquierda de $2 t + 1 - 2 (t - 2)$ .

$\frac{9 \cdot (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 t - 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (2 t) + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{18 t + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{18 t + 9 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.3

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.4

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 \cdot 4}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.5

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.6

Resta $18 t$ de $18 t$ .

$\frac{0 + 9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.7

Suma $0$ y $9$ .

$\frac{9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.8

Suma $9$ y $36$ .

$\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.9

Multiplica $\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2} {(2 t + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.10

Multiplica ${(2 t + 1)}^{2}$ por ${(2 t + 1)}^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.10.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2 + 8}}$

Paso 4.4.10.2

Suma $2$ y $8$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{10}}$