Cálculo Ejemplos

$f (z) = \frac{1}{z^{2} + 1}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{z^{2} + 1}$ como ${(z^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z^{2} + 1)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{- 1}$ y $g (z) = z^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $z^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z^{2} + 1$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $z^{2} + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (2 z + \frac{d}{d z} [1])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (2 z + 0)$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $2 z$ y $0$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (2 z)$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(z^{2} + 1)}^{- 2} z$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(z^{2} + 1)}^{2}} z$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}} z$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(z^{2} + 1)}^{2}} z$

Paso 4.2.3

Combina $z$ y $\frac{2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{z \cdot 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $z$ .

$- \frac{2 z}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$