Cálculo Ejemplos

$g (t) = t^{2} \ln (e^{2 t} + 8)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \ln (e^{2 t} + 8)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (e^{2 t} + 8)] + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = e^{2 t} + 8$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{2 t} + 8$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$t^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{2 t} + 8$ .

$t^{2} (\frac{1}{e^{2 t} + 8} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{e^{2 t} + 8}$ y $t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8] + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 t} + 8$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 t}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.4

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 e^{2 t} + 0) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.5

Combina fracciones.

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Paso 5.5.1

Suma $2 e^{2 t}$ y $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 e^{2 t}) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.5.2

Combina $2$ y $\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8}$ .

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 8} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.5.3

Combina $\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 8}$ y $e^{2 t}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \ln (e^{2 t} + 8) (2 t)$

Paso 6

Para escribir $\ln (e^{2 t} + 8) (2 t)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{2 t} + 8}{e^{2 t} + 8}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \frac{\ln (e^{2 t} + 8) (2 t) (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 8) (2 t) (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + 2 \ln (e^{2 t} + 8) t (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.1.1.2

Simplifica $2 \ln (e^{2 t} + 8)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t \cdot 8}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.1.1.4

Multiplica $\ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t \cdot 8$ .

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Paso 8.1.1.4.1

Reordena $\ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2})$ y $8$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot (8 \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}))}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.1.1.4.2

Simplifica $8 \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({({(e^{2 t} + 8)}^{2})}^{8})}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.1.1.5

Multiplica los exponentes en ${({(e^{2 t} + 8)}^{2})}^{8}$ .

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Paso 8.1.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2 \cdot 8})}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.1.1.5.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.1.2

Reordena los factores en $2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{2 t} t^{2} + e^{2 t} t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$