Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{2 t}{3 t - 1}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{2 t}{3 t - 1}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t - 1}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t - 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 3 t - 1$ .

$2 \frac{(3 t - 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t - 1]}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(3 t - 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t - 1]}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $3 t - 1$ por $1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t \frac{d}{d t} [3 t - 1]}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 + 0)}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica los términos.

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Paso 3.8.1

Suma $3$ y $0$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t \cdot 3}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - 3 t}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Resta $3 t$ de $3 t$ .

$2 \frac{0 - 1}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.4.1

Resta $1$ de $0$ .

$2 \frac{- 1}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{1}{{(3 t - 1)}^{2}})$

Paso 3.8.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(3 t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(3 t - 1)}^{2}}$