Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - \ln (8 x)$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \ln (8 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (8 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (8 x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (8 x)]$ .

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (8 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$1 - (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - (\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1))$

Paso 2.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$1 - (\frac{1}{8 x} \cdot 8)$

Paso 2.6

Combina $\frac{1}{8 x}$ y $8$ .

$1 - \frac{8}{8 x}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común.

$1 - \frac{8}{8 x}$

Paso 2.7.2

Reescribe la expresión.

$1 - \frac{1}{x}$

Paso 3

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x} + 1$